domingo, 25 de mayo de 2008

Factores - Matemáticas - Primero Medio

Factores

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Situ�monos por un instante en la aritm�tica y pensemos en una multiplicaci�n simple, por ejemplo, 20 x 9. En ella se pueden distinguir las siguientes componentes:

Propiedades de la multiplicaci�n

Recordemos que en la multiplicaci�n existen propiedades importantes, las que podemos visualizar utilizando el ejemplo anterior. Ellas son:

  • El orden de los factores no altera el producto:

20 x 9 = 9 x 20

  • Al asociar se pueden resolver m�s f�cil una multiplicaci�n con m�s de dos factores. Si al 20 lo descomponemos en 10 x 2 se tiene 10 x 2 x 9 = 180. Luego:

(10 x 2)x 9 = 10 x (2 x 9) = 180

  • Distribuyendo la multiplicaci�n sobre la suma se llega al mismo resultado. Si al 20 lo descomponemos en 11+ 9, se tiene (11+ 9) x 9 = 180. Luego:

(11+ 9) x 9 = 11 x 9 + 9 x 9 = 99 + 81 = 180

Las propiedades de la multiplicaci�n se pueden enunciar como sigue. Dados a, b, c n�meros cualesquiera, entonces se cumple:

Propiedad

Nombre

ab = ba

Conmutatividad

a(bc) = (ab)c

Asociatividad

a(b+c) = ab+ac


(b+c)a = ba +ca

Distributividad de la multiplicaci�n respecto de la suma

�reas y factores en el museo

Supongamos ahora, en otro contexto, que en un museo hay dos salas de exposiciones permanentes, las cuales se encuentran ubicadas como se muestra en la figura.

�Cu�l es el �rea para cada sala del museo?, �Cu�l es el �rea total, considerando ambas salas de exposiciones?

Para resolver el problema debemos recordar que el �rea de un rect�ngulo depende de dos factores: el largo y el ancho. El �rea se determina multiplicando ambos factores, de acuerdo a esto se tiene:

Para la sala 1 el �rea es: 12m x 9m = 108 m2. Para la sala 2 el �rea es: 8m x 9m = 72 m2. Luego, el �rea total corresponde a: 20m x 9m = 108 m2, o bien, (12m + 8m ) x 9m.

Producto de factores y �reas rectangulares

Consideremos ahora productos en los que intervienen factores de la forma: a+b, c-d, a+b-c, etc. Una forma de visualizar tales productos es por medio de �reas rectangulares.Antes de mostrar los ejemplos, es necesario recordar algunas definiciones:

Nombre

Definici�n

Monomio

Expresi�n algebraica con un solo t�rmino.

Polinomio

Expresi�n gen�rica que representa la suma o resta de monomios.

Binomio

Polinomio de dos t�rminos.

Trinomio

Polinomio de tres t�rminos.

(Enciclopedia Autodidacta Oc�ano, 1984, Vol.3, p.599)

  1. Producto de un monomio por un binomio

Expliquemos este producto a trav�s de dos ejemplos:

  • Sean los factores �5� y � b+c�, el producto entre ellos es: 5(b+c) = 5b + 5c. Este producto puede representarse como las �reas de los siguientes rect�ngulos:

  • Sean los factores "a"y "b+c-d", el producto entre ellos es: a(b+c-d) = ab+ac-ad. Esto puede representarse como las siguientes �reas:

  1. Producto de dos binomios

Sean los factores "a+b" y "c+d", el producto entre ellos es:

(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd.

Represent�ndolo como �reas:

  1. Producto de un binomio por un trinomio

Sean los factores "a+b" y "x+y+z", el producto entre ellos multiplicando t�rmino a t�rmino es: ax +bx + ay + by + az + bz. Al representarlo como �reas se tiene:

  1. Producto de tres factores

Sean los factores "a+b", "c+d","e", el producto entre ellos es:

(a+b)(c+d)e = ace + ade + bce + bde.

Esto puede ser representado como el volumen de un paralelep�pedo: