Congruencia - Matemáticas - Primero Medio.

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Se dice que dos figuras planas son congruentes si una de ellas puede ser convertida en la otra por medio de movimientos, tales como: rotaci�n, traslaci�n, simetr�a con respecto a una recta. (Enciclopedia de las Matem�ticas, Tomo 2 pp. 360, 1998) Ejemplo 1 La figura que se muestra a continuaci�n en S es congruente con S��, realizando los movimientos de simetr�a con respecto a una recta y una traslaci�n de tal forma que �stas coincidan.

Ejemplo 2 La caricatura (teniendo en cuenta que se trata de figuras planas) que se muestra a continuaci�n en F es congruente con la de F��� realizando los movimientos de rotaci�n, simetr�a con respecto a una recta y traslaci�n, de tal forma que las figuras coincidan.

Intuitivamente hablando, dos figuras geom�tricas son congruentes si ellas tienen (...) el mismo tama�o y forma. Por ejemplo, en la figura que se encuentra a continuaci�n, los tres tri�ngulos son congruentes. (Moise & Downs, pp. 114, 1971)

De acuerdo a lo anterior se tiene que los tri�ngulos ABC, DEF y GHI son congruentes. Una manera de describir la situaci�n es decir que cualquiera de esos tri�ngulos se puede hacer coincidir con cualquier otro. Por ejemplo, para que DABC coincida con DDEF, debemos hacer corresponder A con E, B con F y C con D. Para describir la congruencia del primer tri�ngulo y el tercero, debemos hacer corresponder los v�rtices de la siguiente forma: Por lo tanto, Nota: El s�mbolo se utiliza para indicar congruencia entre figuras geom�tricas.

a. Segmentos congruentes Son segmentos congruentes aquellos que tienen igual medida . Si los son congruentes, entonces se escribe .

b. �ngulos congruentes �ngulos congruentes son aquellos que tienen igual medida . Si y son congruentes, entonces se escribe .

c. Tri�ngulos congruentes Se dice que un DABC es congruente con otro DDEF si sus lados respectivos son congruentes y sus �ngulos respectivos tambi�n los son.

Dado que estos tri�ngulos tienen lados respectivamente congruentes, que son: ; y que tambi�n tienen �ngulos respectivamente congruentes, a saber: . Entonces es posible afirmar: Si dos o m�s tri�ngulos son congruentes, sus lados y �ngulos lo ser�n respectivamente, en el orden de las letras asignadas a sus v�rtices para nombrarlos, salvo que gr�ficamente se indique otra correspondencia. La congruencia de pol�gonos puede estudiarse mediante la congruencia de tri�ngulos. Para que dos tri�ngulos sean congruentes, es suficiente que s�lo algunos lados y/o �ngulos sean congruentes. Las condiciones requeridas para esto se conocen como criterios de congruencia y se expresan en los siguientes.

Criterio LAL (lado-�ngulo-lado) Dos tri�ngulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el �ngulo comprendido por ellos tambi�n congruente. porque,

Criterio ALA (�ngulo-lado-�ngulo) Dos tri�ngulos son congruentes si tienen dos �ngulos congruentes y el lado com�n a ellos, tambi�n congruente. porque,

Criterio LLL (lado-lado-lado) Dos tri�ngulos son congruentes si tiene sus tres lados respectivamente congruentes. porque,

Criterio LLA (lado-lado-�ngulo) Dos tri�ngulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el �ngulo opuesto al lado de mayor medida, tambi�n congruente. porque, Observaci�n: Cuando el �ngulo congruente es el opuesto al lado de menor medida entre los que son congruentes, LLA no siempre determinan una congruencia. (Rodrigo de las Heras y otros, pp. 151-152, 1993)

Factores - Matemáticas - Primero Medio

Factores

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Situ�monos por un instante en la aritm�tica y pensemos en una multiplicaci�n simple, por ejemplo, 20 x 9. En ella se pueden distinguir las siguientes componentes:

Propiedades de la multiplicaci�n

Recordemos que en la multiplicaci�n existen propiedades importantes, las que podemos visualizar utilizando el ejemplo anterior. Ellas son:

• El orden de los factores no altera el producto:

20 x 9 = 9 x 20

• Al asociar se pueden resolver m�s f�cil una multiplicaci�n con m�s de dos factores. Si al 20 lo descomponemos en 10 x 2 se tiene 10 x 2 x 9 = 180. Luego:

(10 x 2)x 9 = 10 x (2 x 9) = 180

• Distribuyendo la multiplicaci�n sobre la suma se llega al mismo resultado. Si al 20 lo descomponemos en 11+ 9, se tiene (11+ 9) x 9 = 180. Luego:

(11+ 9) x 9 = 11 x 9 + 9 x 9 = 99 + 81 = 180

Las propiedades de la multiplicaci�n se pueden enunciar como sigue. Dados a, b, c n�meros cualesquiera, entonces se cumple:

Propiedad	Nombre
ab = ba	Conmutatividad
a(bc) = (ab)c	Asociatividad
a(b+c) = ab+ac � (b+c)a = ba +ca	Distributividad de la multiplicaci�n respecto de la suma

�reas y factores en el museo

Supongamos ahora, en otro contexto, que en un museo hay dos salas de exposiciones permanentes, las cuales se encuentran ubicadas como se muestra en la figura.

�Cu�l es el �rea para cada sala del museo?, �Cu�l es el �rea total, considerando ambas salas de exposiciones?

Para resolver el problema debemos recordar que el �rea de un rect�ngulo depende de dos factores: el largo y el ancho. El �rea se determina multiplicando ambos factores, de acuerdo a esto se tiene:

Para la sala 1 el �rea es: 12m x 9m = 108 m². Para la sala 2 el �rea es: 8m x 9m = 72 m². Luego, el �rea total corresponde a: 20m x 9m = 108 m², o bien, (12m + 8m ) x 9m.

Producto de factores y �reas rectangulares

Consideremos ahora productos en los que intervienen factores de la forma: a+b, c-d, a+b-c, etc. Una forma de visualizar tales productos es por medio de �reas rectangulares.Antes de mostrar los ejemplos, es necesario recordar algunas definiciones:

Nombre	Definici�n
Monomio	Expresi�n algebraica con un solo t�rmino.
Polinomio	Expresi�n gen�rica que representa la suma o resta de monomios.
Binomio	Polinomio de dos t�rminos.
Trinomio	Polinomio de tres t�rminos.

(Enciclopedia Autodidacta Oc�ano, 1984, Vol.3, p.599)

1. Producto de un monomio por un binomio

Expliquemos este producto a trav�s de dos ejemplos:

• Sean los factores �5� y � b+c�, el producto entre ellos es: 5(b+c) = 5b + 5c. Este producto puede representarse como las �reas de los siguientes rect�ngulos:

• Sean los factores "a"y "b+c-d", el producto entre ellos es: a(b+c-d) = ab+ac-ad. Esto puede representarse como las siguientes �reas:

2. Producto de dos binomios

Sean los factores "a+b" y "c+d", el producto entre ellos es:

(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd.

Represent�ndolo como �reas:

3. Producto de un binomio por un trinomio

Sean los factores "a+b" y "x+y+z", el producto entre ellos multiplicando t�rmino a t�rmino es: ax +bx + ay + by + az + bz. Al representarlo como �reas se tiene:

4. Producto de tres factores

Sean los factores "a+b", "c+d","e", el producto entre ellos es:

(a+b)(c+d)e = ace + ade + bce + bde.

Esto puede ser representado como el volumen de un paralelep�pedo:

Simetría _ Matemáticas - Primero Medio

Introducción

La idea de simetría es inherente a la percepción humana. Por lo tanto es apropiado recurrir a algunos naturales de simetría y de gran belleza.

Al observar la mariposa y el escarabajo, diremos que cada uno es simétrico, pues al trazar una línea recta en el centro de cada uno de ellos, y si se doblara el papel por esta línea, la parte que está a la derecha de la línea sería exactamente igual a la parte que está a la izquierda de esa misma línea, de tal manera que esas dos partes coincidan.

Otros ejemplos de simetría

Jardines del Vaticano

Plaza de San Pedro

Escudo del Vaticano

En cada uno de los ejemplos anteriores se ve claramente que al trazar una recta en el centro de la figura, las partes formadas son indistinguibles en forma y tamaño, excepto por la posición que ocupan.

En base a las observaciones en los ejemplos anteriores, resulta natural descubrir que hay una transformación que lleva la parte izquierda de la figura a la parte derecha sin cambiar su forma ni sus dimensiones.

Observe la siguiente balanza en equilibrio. En este caso diremos que el conjunto de pesas F� es el simétrico del conjunto F respecto del eje L o que el conjunto de pesas F es el simétrico del conjunto F� respecto del mismo eje L.

1. Simetría Axial

a. Simetría Axial entre dos Puntos

Dados los puntos A, A� y la recta L, se dice que A� es la imagen de A por reflexión con respecto a L (llamado Eje de Simetría) si el segmento AA� es perpendicular a L, AA� L = { C } y AC = CA�



Si A� es la imagen por reflexión de A respecto de L entonces A� es el simétrico de A.

Si A� es la imagen de A con respecto a L entonces A es a su vez la imagen de A� respecto de la misma recta L. Diremos, entonces, que A y A� son puntos tales que cada uno es la imagen del otro respecto de L.

b. Simetría Axial entre dos Figuras

Sean F y F� dos figuras y L una recta:



La imagen F� de la figura F con respecto al eje de simetría L, es el conjunto de las imágenes obtenidas de cada punto de la figura F por reflexión con respecto a la recta L.

Si F� es la imagen de F con respecto a L entonces F es a su vez la imagen de F� respecto de la misma recta L. Diremos, entonces, que F y F� son figuras tales que cada una es la imagen de la otra respecto de L.

2. Simetría Central

a. Simetría Central entre dos Puntos

Dados los puntos A, A� y otro punto C, perteneciente al trazo AA�, se dice que A� es la imagen de A con respecto a C si AC = CA�.

Si A� es la imagen por reflexión de A respecto de C, entonces A� es el simétrico de A respecto de C.

Si A� es la imagen de A con respecto a C entonces A es, a su vez, la imagen de A� respecto del mismo punto C.

b. Simetría Central entre dos Figuras

Sean F y F� dos figuras y C un punto llamado centro de simetría.

La imagen F� de la figura F con respecto al centro de simetría C, es el conjunto de las imágenes obtenidas por reflexión de cada punto de la figura F respecto del punto C.

Si F� es la imagen de F con respecto a C, entonces F es a su vez la imagen de F� respecto del mismo punto C. Diremos, entonces, que F y F� son figuras tales que cada una es la imagen de la otra respecto de C.